Suites - Complémentaire

\(\left(u_n\right)\) est une suite géométrique de raison q. \[ u_{4} = 48 \] \[ u_{5} = 96 \] Calculer \(u_{13}\)

Le fonctionnement de certaines centrales géothermiques repose sur l'utilisation de la chaleur du sous-sol. Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle, il est nécessaire de creuser plusieurs puits suffisamment profonds.

Lors de la construction d'une telle centrale, on modélise le tarif pour le forage du premier puits par la suite \( (u_n) \), définie pour tout entier naturel \( n \) non nul, par : \[ u_n = 2000 \times 1,02^{n -1} \]

On a ainsi \( u_1 = 2000 \) et \( u_2 = 2040 \), c'est-à-dire que le forage des dix premiers mètres coûte 2000 euros, et celui des dix mètres suivants coûte 2040 euros.Calculer \( u_3 \).
On donnera le résultat obtenu arrondi au centième.

Calculer le coût total de forage des 30 premiers mètres.
On donnera le résultat obtenu arrondi au centième.

Soit \( n \) un entier naturel non nul.

Exprimer \( u_{n+1} \) en fonction de \( u_n \).

Quelle est la nature de la suite \( (u_n) \) ?

En déduire le pourcentage d'augmentation du coût de forage de la \( (n+1) \)-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la \( n \)-ième dizaine de mètres.

On considère l'algorithme ci-dessous :

On fait fonctionner l'algorithme précédent en donnant \( 5 \) comme valeur à \( n \).

Résumer les résultats obtenus à chaque étape dans le tableau ci-dessous.
On utilisera des valeurs exactes pour toutes les étapes de calcul. En revanche pour remplir le tableau, on écrira des valeurs arrondies au centième.

Quelle est la valeur de \( S \) affichée en sortie ? On note cette valeur \( S_f \).
On donnera le résultat obtenu arrondi au centième.

À quoi correspond cette valeur dans le contexte de l'exercice ?

On note \( S_n = u_1 + u_2 + ... + u_n \) la somme des \( n \) premiers termes de la suite \( (u_n) \), \( n \) étant un entier naturel non nul.
On admet que : \[ S_n = -100000 + 100000 \times 50^{- n} \times 51^{n} \]
Le budget consenti pour le forage du premier puits est de 75000 euros. On souhaite déterminer la profondeur maximale du puits que l'on peut espérer avec ce budget.

Calculer la profondeur maximale par la méthode de votre choix (utilisation de la calculatrice, résolution d'une inéquation...).

Soit la suite \( \left(u_n\right) \) définie sur \( \mathbb{N} \) telle que \[\left(u_n\right) : u_n = - \left(\dfrac{1}{8}\right)^{n}\]Exprimer \(u_{n+1} - u_n \) en fonction de \(n\).

En déduire le sens de variation de \((u_n)\).

Ecrire \(u_n\) uniquement en fonction de \(n\). \[ (u_n) : \begin{cases} u_1 = 4 \\ u_{n+1} = 5u_n \end{cases} \]

Soit \((u_n)\), une suite géométrique de raison \(2\) et de premier terme \( u_1 = 1 \).
Calculer la somme suivante, \[ u_{3} + u_{4} + ... + u_{10} \] On donnera un résultat numérique.